Taylorreihe Sinus | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (2024)

Du weißt zwar, wie du theoretisch eine Taylorreihe berechnen kannst, die Taylorreihe Sinus bereitet die aber noch Probleme? In diesem Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt die Taylorreihe der Sinusfunktion.

Taylorentwicklung Sinus: Ableitungen und Entwicklung des Taylor-Polynoms

Wir betrachten nun also die Sinusfunktion von x und einen Entwicklungspunkt von . Davon bilden wir nun die verschiedenen Taylorpolynome und die erste Ableitung.

Die Ableitung von Sinus x ist Cosinus x. Der Cosinus an der Stelle Null ist 1. Damit kannst du schon das Taylorpolynom aufstellen.

an der Stelle ist Sinus von Null und das ergibt wiederum Null. an der Stelle Null ist Cosinus von Null. Daraus resultiert als Ergebnis Eins. Für setzen wir auch in der Differenz Null ein. ist gleich . Schauen wir uns das doch mal graphisch an.

Die blaue Kurve ist der Sinus und die orangefarbene das Taylorpolynom zweiten Grades. Du kannst erkennen, dass die orangene Kurve die Tangente an den Funktionsgraphen im Entwicklungspunkt ist.

Taylorreihe Sinus: Zweite und dritte Ableitung

Nun bilden wir die nächsten zwei Ableitungen und werten sie wieder an der Stelle Null aus.

Die zweite Ableitung ist Minus der Sinus und ergibt an der Stelle Null, Null. Dieser Faktor gehört zum quadratischen Glied des Taylor-Polynoms, also hat das Taylor-Polynom keinen quadratischen Anteil. Auch das konstante Glied des Taylor-Polynoms war am Entwicklungspunkt Null, denn . Konstanten und quadratische Terme sind gerade Funktionen, der Sinus ist jedoch eine ungerade Funktion. Daher kann auch das Taylor-Polynom des Sinus keinerlei gerade Terme enthalten.

Wir wissen schon jetzt, dass die zweite, vierte, sechste und die weiteren Ableitungen ausgewertet an der Stelle Null alle wegfallen werden. Da somit entspricht, können wir direkt aufstellen, um eine bessere Approximation zu erhalten.

Taylorreihe Sinus: Taylor-Polynom vierten Grades

Es ergibt sich das hier:

Die ersten zwei Glieder kannst du getrost von vorher abschreiben. Die zweite Ableitung ist Null, wie wir festgestellt haben, sodass der quadratische Term wegfällt. Wir setzen -1 für die dritte Ableitung ein, teilen durch , also durch sechs, und erhalten als .

Auch das plotten wir und wir sehen, dass sich schon eine bessere Approximation ergibt. Der gelbe Graph nähert sich dem Verlauf der blauen Sinus-Kurve an.

Als nächstes plotten wir . Versuch doch mal, das Polynom selbst aufzustellen. Kommst du auch auf

Schau dir den lila Kurvenverlauf an. Die Annäherung ist nochmals genauer geworden. Gehen wir jetzt noch zwei Ordnungen höher, ist die Abweichung kaum mehr zu erkennen, wie du im Graph siehst. Die grüne und blaue Kurve sind kaum zu unterscheiden.

Sinus Taylorreihe: Einführung des Landau-Symbols

Du kannst auch

schreiben. Dabei ist das Landau-Symbol. Allgemein gilt:

Wenn du das Taylor-Polynom m-ten Grades aufgestellt hast, kannst du den Fehler zur Funktion , also alle fehlenden Potenzen ab der Ordnung , mithilfe des Landau-Symbols zusammenfassen zu . Dabei steht für eine beliebige Funktion, die mindestens den Faktor enthält. Genauer heißt das: Wenn du eine Funktion in der Form ausdrücken, also ausklammern kannst, schreibst du . Dabei muss gelten, dass im Ursprung stetig ist.

Hier einige Beispiele zum Verständnis. Beim ersten Beispiel kann ausgeklammert werden. Der Vorfaktor 5 ist eine konstante Funktion, die im Ursprung stetig ist. Klammerst du aus, erhältst du für . Diese Funktion ist im Ursprung nicht stetig und somit gilt . lässt sich nämlich ausklammern und ergibt eine stetige Funktion.

Wenden wir uns dem nächsten Beispiel zu. Du musst dir lediglich den Term niedrigster Ordnung ansehen. Das ist in diesem Fall . Die übrigen Terme und sind ebenfalls in , da du auch hier ausklammern kannst. Kommen wir nun zurück zu unserer Taylorreihe des Sinus:

Diese Schreibweise bedeutet also, dass der Sinus aus den Termen und einem Restglied aus Termen mindestens 5. Ordnung beschrieben werden kann.

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